На главную

Выражение вида F(x)=0  - называется уравнением, здесь F(x) определена и непрерывна на некотором отрезке [a;b]
Всякое число  обращающее функция F(x) в 0, называется корнем уравнения вида 1.
Два уравнения называются равносильными, если множество решений данных уравнений совпадают.

Все уравнения делятся на два класса:

• Алгебраическое (уравнение содержащее степень x)
• Трансцендентное (уравнение вида )

Решить уравнение вида 1 это значит:

• Установить есть ли корни
• Определить число корней
• Найти значение коней с заданной точностью

Установить имеет ли уравнение корни можно двумя способами:

• Аналитический
• Графический

Графический способ называется отделением корней – значит найти достаточно малую окрестность внутри, которой находится одно значение  корня.
Для нахождения определенного корня с некоторой степенью точности используется процесс уточнения корня одним из ЧМ.
Уточнить корень – это значит вычислить его одним из Численных Методов.

Среди методов выделяют:

• Метод хорд
• Метод касательных
• Метод половинного деления
• Комбинированный метод хорд и касательных
• Метод квадратного корня
• Метод простой итерации

Метод хорд:
Графическая интерпретация метода хорд

Формулы:

Для определения количества расчетных точек пользуются критерием достижения заданной точности для метода хорд: расчет ведут пока, модель разности меж двумя соседними точками не будет превышать модуля отношений значения функций в точке к первой производной той же точки:

Метод касательных:

Формулы:
Аналитически формулу метода касательных выводят на основе уравнения касательной
 

Для нахождения критерия точности определяют неподвижную точку. Точка x будет неподвижной, если знак функции совпадает со знаком второй производной  .
Если условие не выполняется, значит, точка x – подвижная точка.
,  a0 – неподвижная точка, тогда Xn – корень.

Метод простой итерации
Итерация – процесс получения чисел   по правилу , для любого начального x0.
Для решения уравнения методом простой итерации необходимо уравнение F(x)=0 привести к виду x = f(x)
Пример:

Для того чтобы получить вид f(x) пригодной для использования метода простой итерации, необходимо чтобы была выполнена теорема о достаточных условиях сходимости итерационного процесса:

• Уравнение вида (2) имеет единственный корень на отрезке (a;b) и выполнены три условия:
• f(x) определена и дифференцируема на отрезке (a; b)
• для любого x из отрезка (a; b) значение функции f(x) принадлежит этому отрезку
• существует некоторое число q, такое что , тогда итерационная последовательность  сходится при любом x0 на отрезке (a; b)

Для преобразования уравнения вида (1) к виду (2), нужно до множить уравнение вида (1) на –m и получим
x=x-m*F(x), где